Dynamique des systèmes mécaniques
La dynamique étudie les mouvements en tenant compte des forces qui les causent. En SI Terminale, on applique le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) à des solides en translation et en rotation, en faisant intervenir l'inertie et les moments d'inertie.
Objectifs
- Appliquer le PFD en translation (ΣF = m × a) et en rotation (ΣM = J × θ'') à un système mécanique
- Calculer le moment d'inertie d'un solide simple (cylindre, disque) et l'utiliser dans l'équation du mouvement
- Utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour relier les forces aux variations de vitesse
Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)
Le PFD, ou deuxième loi de Newton, s'applique à tout solide dans un référentiel galiléen. En translation : la somme vectorielle de toutes les forces appliquées est égale à la masse multipliée par l'accélération (ΣF = m × a). En rotation autour d'un axe fixe : la somme des moments par rapport à cet axe est égale au moment d'inertie multiplié par l'accélération angulaire (ΣM = J × θ''). Ces deux équations sont les outils de base pour étudier tout mouvement mécanique.
Moment d'inertie
Le moment d'inertie J caractérise la résistance d'un solide à la mise en rotation, à l'image de la masse pour la translation. Il dépend de la répartition des masses autour de l'axe. Pour un cylindre plein homogène de masse m et de rayon R tournant autour de son axe de révolution : J = ½ × m × R². Pour un anneau mince de masse m et de rayon R : J = m × R². Plus un solide est massif et étendu radialement, plus son moment d'inertie est grand.
Théorème de l'énergie cinétique
Le théorème de l'énergie cinétique (TEC) stipule que la variation d'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées : ΔEc = ΣW(forces). En translation : Ec = ½ × m × v². En rotation : Ec = ½ × J × ω². Ce théorème est particulièrement utile pour relier vitesse et travail sans avoir à calculer les efforts intermédiaires, notamment quand plusieurs forces travaillent simultanément.
Liaison et transmission de mouvement
Dans un mécanisme, les solides sont liés par des liaisons (pivot, glissière, pivot-glissant). La liaison impose des contraintes cinématiques et dynamiques. La transmission par engrenage ou par courroie introduit un rapport de transmission i = ω2/ω1 = R1/R2 (rapport des rayons pour des engrenages). Le moment transmis suit la loi : M1 × ω1 = M2 × ω2 (en supposant rendement = 1), ce qui signifie qu'un réducteur diminue la vitesse et augmente le couple.
Relations et formules clés
ΣM/Δ = J × θ'' = J × αΣM/Δ est la somme algébrique des moments par rapport à l'axe Δ (en N·m), J est le moment d'inertie (en kg·m²), θ'' = α est l'accélération angulaire (en rad/s²). Analogue à ΣF = m × a pour la translation.
J = ½ × m × R²m est la masse totale du cylindre (en kg), R est le rayon (en m), J est en kg·m². Pour un cylindre creux (anneau mince) : J = m × R². Pour un disque mince : même formule J = ½ × m × R² car c'est équivalent à un cylindre de faible hauteur.
Ec2 − Ec1 = ΣW = ΣF·d (ou ΣM·θ)Ec = ½mv² (translation) ou Ec = ½Jω² (rotation). ΣW est la somme des travaux de toutes les forces extérieures. W = F × d × cos(θ) pour une force constante, W = M × Δθ pour un couple. Les forces perpendiculaires au déplacement (réactions normales) ne travaillent pas.
Exercice d'application
Question : Un disque plein de masse m = 4 kg et de rayon R = 0,2 m est mis en rotation à partir du repos par un couple moteur constant M = 3 N·m. Les frottements exercent un couple résistant Mr = 0,6 N·m. Calculer l'accélération angulaire α du disque.
Voir la solution
Réponse : Moment d'inertie : J = ½ × m × R² = ½ × 4 × (0,2)² = ½ × 4 × 0,04 = 0,08 kg·m². Application du PFD en rotation : ΣM = J × α donc M − Mr = J × α. On obtient : 3 − 0,6 = 0,08 × α soit 2,4 = 0,08 × α. Donc α = 2,4 / 0,08 = 30 rad/s². Le disque accélère à 30 rad/s².
