Résistance des matériaux
La Résistance des Matériaux (RDM) étudie le comportement des pièces mécaniques soumises à des sollicitations extérieures. Elle permet de vérifier qu'une pièce résiste sans rupture ni déformation excessive, et de la dimensionner correctement en choisissant matériau, géométrie et dimensions.
Objectifs
- Identifier et calculer les contraintes normales (traction, compression) et tangentielles (cisaillement) dans une section droite
- Appliquer la loi de Hooke pour calculer les déformations et allongements élastiques
- Vérifier la résistance d'une pièce en comparant la contrainte calculée à la contrainte admissible
Sollicitations simples : traction et compression
Quand un solide est soumis à un effort axial F (dans l'axe de la pièce), il travaille en traction (F tend à allonger) ou en compression (F tend à raccourcir). La contrainte normale sigma est uniforme dans la section droite de la pièce. Elle vaut sigma = F / S, où S est l'aire de la section transversale. L'unité est le Pascal (Pa), mais en pratique le MPa (1 MPa = 1 N/mm²) est utilisé pour les pièces métalliques. Un tirant de boulonnerie, une bielle, un câble porteur sont des exemples de pièces travaillant en traction.
Déformation et loi de Hooke
Dans le domaine élastique, la déformation est proportionnelle à la contrainte : sigma = E x epsilon, où E est le module d'Young (en MPa ou GPa) et epsilon = delta L / L0 est la déformation relative (sans unité). L'allongement absolu d'une pièce de longueur L0 soumise à un effort F vaut : delta L = (F x L0) / (E x S). Pour l'acier, E ≈ 210 000 MPa (210 GPa). Cette loi est valable uniquement en dessous de la limite élastique Re du matériau.
Flexion et contraintes
La flexion apparaît quand un effort est perpendiculaire à l'axe d'une poutre (ex : traverse, bras de levier). Elle génère un moment fléchissant Mf (en N.m) qui crée des contraintes normales sigma = Mf x v / Iz, où v est la distance à l'axe neutre et Iz le moment quadratique de la section (en mm4). La contrainte maximale sigma max = Mf / W, où W = Iz / v est le module de résistance en flexion (mm3). Les fibres supérieures sont comprimées et les inférieures tendues (ou inversement selon le sens du chargement).
Contrainte admissible et coefficient de sécurité
La vérification de résistance consiste à comparer la contrainte maximale calculée sigma max à la contrainte admissible sigma adm du matériau : sigma max ≤ sigma adm. La contrainte admissible est déterminée à partir de la limite élastique Re (ou de rupture Rm) du matériau divisée par un coefficient de sécurité s : sigma adm = Re / s. Le coefficient s est généralement choisi entre 1,5 et 3 selon la criticité (charges statiques, dynamiques, chocs). En acier courant S235 : Re = 235 MPa, Rm = 360 MPa.
Relations et formules clés
sigma = F / Ssigma en MPa (N/mm²), F en N (effort axial), S en mm² (aire de la section droite). sigma > 0 en traction, sigma < 0 en compression.
delta L = (F x L0) / (E x S)delta L en mm, F en N, L0 longueur initiale en mm, E module d'Young en MPa (acier = 210 000 MPa), S en mm². Valable uniquement en régime élastique (sigma < Re).
sigma adm = Re / ssigma adm en MPa, Re limite élastique du matériau en MPa, s coefficient de sécurité (sans unité, typiquement entre 1,5 et 3). La pièce est sûre si sigma max ≤ sigma adm.
Exercice d'application
Question : Un tirant cylindrique en acier (E = 210 000 MPa, Re = 250 MPa) de diamètre d = 20 mm et de longueur L0 = 500 mm est soumis à un effort de traction F = 40 000 N. Calculer la contrainte normale sigma, l'allongement delta L et vérifier la résistance pour un coefficient de sécurité s = 2.
Voir la solution
Réponse : Section : S = pi x d² / 4 = pi x 20² / 4 = 314,2 mm². Contrainte : sigma = F / S = 40 000 / 314,2 = 127,3 MPa. Allongement : delta L = (F x L0) / (E x S) = (40 000 x 500) / (210 000 x 314,2) = 20 000 000 / 65 982 000 = 0,303 mm. Contrainte admissible : sigma adm = Re / s = 250 / 2 = 125 MPa. Vérification : sigma = 127,3 MPa > sigma adm = 125 MPa. La pièce ne satisfait pas le critère de résistance. Il faut augmenter le diamètre : d minimal = racine(4 x F / (pi x sigma adm)) = racine(4 x 40 000 / (pi x 125)) = racine(407,4) ≈ 20,2 mm. Choisir d = 22 mm (valeur normalisée suivante).
