Systèmes asservis
Un système asservi en boucle fermée compare en permanence la valeur réelle d'une grandeur à la valeur désirée (consigne) et agit pour réduire l'écart. C'est le principe de la régulation automatique : thermostat, régulateur de vitesse, bras robotisé.
Objectifs
- Identifier les blocs fonctionnels d'une chaîne d'asservissement (comparateur, correcteur, actionneur, capteur)
- Calculer l'écart de position en régime permanent et vérifier la précision d'un système
- Analyser la stabilité d'un asservissement à partir de critères simples (marge de gain, oscillations)
Structure d'une boucle fermée
Une chaîne d'asservissement comporte toujours : une consigne r(t) (valeur souhaitée), un comparateur qui calcule l'écart ε = r − m, un correcteur C(p) qui traite cet écart, un actionneur qui agit sur le système, et un capteur qui mesure la sortie y(t) pour la renvoyer en entrée sous forme de mesure m(t). Ce retour d'information (feedback) est le coeur de la régulation : sans lui, on est en boucle ouverte et aucune correction n'est possible.
Fonctions de transfert et transmittance
Chaque bloc est décrit par sa transmittance (ou fonction de transfert) notée H(p) en notation de Laplace. La transmittance en boucle ouverte est FTBO = C(p) × G(p) × H(p) (correcteur × système × capteur). La transmittance en boucle fermée est FTBF = FTBO / (1 + FTBO). Le gain statique K est la valeur de H(p) lorsque p = 0, c'est-à-dire en régime permanent.
Précision et écart statique
L'écart statique εs est la différence entre la consigne et la sortie en régime permanent. Pour un système de classe 0 (sans intégrateur) soumis à un échelon de consigne E, l'écart statique vaut εs = E / (1 + K) où K est le gain en boucle ouverte. Pour un système de classe 1 (avec un intégrateur), εs = 0 en réponse à un échelon : le système est précis. Un correcteur intégral (I ou PI) supprime l'écart statique.
Stabilité et correcteurs
Un système est stable si sa réponse ne diverge pas. On vérifie la stabilité en examinant les pôles de la FTBF (partie réelle négative) ou par le critère de Bode (marges de gain et de phase). Les correcteurs P (proportionnel), PI (proportionnel-intégral) et PID (proportionnel-intégral-dérivé) permettent d'améliorer précision, rapidité et stabilité. Le terme D anticipe la dérive, le terme I élimine l'écart, le terme P amplifie la réaction immédiate.
Relations et formules clés
ε = consigne − mesure = r(t) − m(t)L'écart ε (epsilon) est calculé par le comparateur. En régime permanent pour une entrée échelon : εs = E / (1 + K) pour un système de classe 0. Si K → ∞ alors εs → 0.
FTBF = FTBO / (1 + FTBO)La FTBF (Fonction de Transfert en Boucle Fermée) relie la sortie à la consigne. FTBO est le produit de toutes les transmittances dans la boucle ouverte. Ce résultat découle du schéma bloc avec retour unitaire.
FTBO = C(p) × G(p) × H(p)FTBO est le produit des transmittances du correcteur C(p), du système (procédé) G(p) et du capteur H(p). Pour un retour unitaire H(p) = 1, on obtient FTBO = C(p) × G(p).
Exercice d'application
Question : Un système asservi en boucle fermée avec retour unitaire possède une FTBO de gain statique K = 9. On applique un échelon de consigne E = 10. Calculer l'écart statique εs en régime permanent.
Voir la solution
Réponse : Avec K = 9 et E = 10 : εs = E / (1 + K) = 10 / (1 + 9) = 10 / 10 = 1. L'écart statique est εs = 1 (même unité que la consigne). La sortie atteint y = 10 − 1 = 9 en régime permanent. Pour annuler cet écart, il faudrait ajouter un intégrateur (correcteur PI) ou augmenter K.
